数学是反直觉的吗?
对于从一年级开始就在算术里打转的三年级娃看来,数学的尽头就是更多位数的加减乘除,比如三位、四位、五位直至更高位数。
有一次,他无意间看到一个标题:“世界七大数学难题,每解决一个都能挣100万美金”。很兴奋,以为发现了致富的捷径,“怎么还不解决一两个?”点进去一看,傻眼了,题目都看不明白。
我也看不明白,我俩都有点懵“这还是数学吗?”
“数学从什么时候开始变得反直觉了?”网上有人这样问。
今天就分享一个数学史上有名的难题“整数分拆”。我们借此体会一番,数学如何从显而易见的直觉,变得“反直觉”。
整数分拆,这个问题,属于数论的范畴。数论主要是研究整数性质的一门理论,理论虽然很艰深,但因为研究的主体是整数,所以题目看起来都还比较简单。
﹊﹊﹊﹊﹊
举例说明一下问题,有多少种方式可以把数字4写成不大于4的整数的和?
换句话说就是,将4分解成更小的整数的和,一共有多少种分解方式?
这个我们可以很轻松地试出结论:
1+1+1+1,1+1+2,2+2,3+1,4+0,一共是5种方式。(这里注意,分拆时,1+3,与3+1认为是相同的)。
对于小的数字,分拆方式的数量(后面我们统一称为分拆个数)是很容易计算的。比如,
整数1的分拆个数是1,1+0
2的分拆个数是2,1+1,2+0
3的分拆个数是3,1+1+1,1+2,3+0
4的分拆个数是5,1+1+1+1,1+1+2,2+2,3+1,4+0
5的分拆个数是7, 1+1+1+1+1,1+1+1+2,1+1+3,1+4,2+3,2+2+1,5+0
……
从1、2、3、4、5……依次往后的整数的分拆个数分别是:1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101……
可以看出来,数字越大,分拆方式就会越多,分拆个数就越大。
﹊﹊﹊﹊﹊
现在试想一下,如果有人想知道更大的数的分拆个数,有没有简单的方法?还是只能用笨办法,一个个地计算?
比如100有多少种分拆方式?1746320987660呢?或者随便什么数?
这其中有什么规律吗?
或者说,1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101……
这个整数分拆序列里藏着什么潜在的模式?
说到这就不得不说,数学家不仅善于解决问题,还善于发现问题。
第一个认真思考这个问题的是大数学家欧拉。后来数学家哈代和拉马努金合作,研究出了哈代-拉马努金公式,发现了整数拆分的近似方法,也就是公式:
其中,n代表任意整数。尽管这个公式不能得到精确值,但已经很近似了,而且他们证明,随着n值越大,公式的估计值将越准确。
﹊﹊﹊﹊﹊
根据印度天才数学家拉马努金的传记《知无涯者》改编的同名电影中,就讲到了这个桥段。
整数100的拆分方式有190 569 292种,如果要计算的话,估计得用一周的时间。
而拉马努金与反对者的pk数字是200。对方不相信这其中有什么捷径可寻,所以按照笨办法,一一计算。
而结果是,200的分拆个数更惊人,达到3 972 999 029 388种。
利用哈代-拉马努金公式得出的结果,误差没超过2%。
﹊﹊﹊﹊﹊
我们回头再来看这个公式:
这怎么看,都是一个不那么自然的数。
我们从一个看似直观、自然的问题出发,走到一个反直觉的答案,得出了这样一个怪异的数字。更令人惊奇的是,它竟然是有效的,反映了整数分拆中存在的规律和模式。
很多人可能会好奇,这里既没有圆周率、也没有对数,为什么自然底数e、圆周率π会出现在这里?
感兴趣的同学可以去找找资料看看推理过程。这里就不介绍了,我看不懂。
﹊﹊﹊﹊﹊
让我知道你在看